SPLTV

 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Nama : Nabila ayu nurzanah

Kelas : X MIPA 3

Absen :20

Pengertian SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu persamaan matematika yang terdiri dari tiga persamaan linear yang masing – masing persamaannya juga bervariabel tiga.

Bentuk Umum SPLTV 

Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) ialah:

Dengan  adalah bilangan real.

Keterangan:
 adalah koefisien dari 
 adalah koefisien dari 
 adalah koefisien dari 
 adalah konstanta
 adalah variabel (peubah)

Ciri-ciri SPLTV 

1. Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)
2. Memiliki tiga variabel
3. Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)

Komponen Pembentuk SPLTV 

• Variabel

Variabel adalah notasi pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya secara jelas. Variabel disebut juga sebagai peubah. Variabel biasanya dinotasikan dengan huruf kecil, seperti .

Contoh:

Suatu bilangan jika dikalikan 3 kemudian dikurangi 9 menghasilkan 6. Maka bentuk persamaannya adalah  dimana  merupakan variabel dari persamaan tersebut. 

• Konstanta

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel.

Contoh:

Kontanta dari bentuk aljabar  adalah 7. 

• Koefisien

Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Contoh:

Koefisien  dari  adalah 9. 

• Suku

Suku adalah sebuah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Contoh:

Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: .

Penyelesaian SPLTV  

• Metode Eliminasi

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut ini menggunakan metode eliminasi!

Jawab:

Kita beri nama ketiga persamaan SPLTV di atas:

 …(1)

 …(2)

 …(3)

Langkah 1 (eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2)):

Langkah 2 (eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3)):

Langkah 3 (eliminasi variabel y pada persamaan (4) dan (5)):

Langkah 4 (eliminasi variabel x pada persamaan (4) dan (5)):

Langkah 5 (subtitusi nilai x dan y ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai z):

Sehingga, himpunan penyelesaiannya adalah .

• Metode Subtitusi

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut ini menggunakan metode subtitusi!

Jawab:

Kita beri nama ketiga persamaan SPLTV di atas:

 …(1)

 …(2)

 …(3)

Persamaan (3) ekuivalen dengan persamaan . Subtitusikan persamaan  ke persamaan (1), diperoleh:

Kemudian subtitusikan persamaan  ke persamaan (2), diperoleh:

Persamaan (4) ekuivalen dengan persamaan . Subtitusikan persamaan  ke persamaan (5), diperoleh:

Subtitusikan nilai z ke persamaan (5) untuk memperoleh nilai y:

Subtitusikan nilai y dan z ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai x:

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah . 

• Metode Gabungan

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut ini menggunakan metode gabungan!

Jawab:

Kita beri nama ketiga persamaan SPLTV di atas:

 …(1)

 …(2)

 …(3)

Langkah 1 (eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2)):

Langkah 2 (eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3)):

Langkah 3 (mencari nilai x dengan metode subtitusi):

Persamaan (4) ekuivalen dengan persamaan . Subtitusikan persamaan  ke persamaan (5).

Langkah 4 (subtitusikan nilai y ke persamaan (5) untuk memperoleh nilai x):

Langkah 5 (subtitusikan nilai x dan y ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai z):

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 

---

•  Metode Determinan  

Metode determinan sering juga disebut dengan metode cramer. Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi).

■ Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut.

Misalkan terdapat sistem persamaan berikut.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut

A . X = B …………… Pers. (1)

Dengan:

A	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

X	=	x
		y
		z

B	=	d1
		d2
		d3

Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut.

a1	b1	c1		x	=	d1
a2	b2	c2		y		d2
a3	b3	c3		z		d3

■ Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (Dx), determinan y (Dy), dan determinan z (Dz) dengan persamaan berikut.

D	=	a1	b1	c1	a1	b1	=	(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
		a2	b2	c2	a2	b2
		a3	b3	c3	a3	b3

D adalah determinan dari matriks A.

Dx	=	d1	b1	c1	d1	b1	=	(d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3) – (d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1)
		d2	b2	c2	d2	b2
		d3	b3	c3	d3	b3

Dx adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dy	=	a1	d1	c1	a1	d1	=	(a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3) – (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1)
		a2	d2	c2	a2	d2
		a3	d3	c3	a3	d3

Dy adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dz	=	a1	b1	d1	a1	b1	=	(a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1)
		a2	b2	d2	a2	b2
		a3	b3	d3	a3	b3

Dz adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen-elemen matriks B.

■ Langkah Ketiga, tentukan nilai x dan y dengan persamaan berikut.

x	=	Dx
		D

y	=	Dy
		D

z	=	Dz
		D

Contoh Soal : 

2x + y + z = 12

x + 2y – z = 3

3x – y + z = 11

Jawab:

■ Mengubah SPLTV ke bentuk matriks

Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.

2	1	1		x	=	12
1	2	−1		y		3
3	−1	1		z		11

Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.

■ Menentukan nilai D

D	=	2	1	1	2	1
		1	2	−1	1	2
		3	−1	1	3	−1

D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]

D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]

D = 0 − 9

D = −9

■ Menentukan nilai Dx

Dx	=	12	1	1	12	1
		3	2	−1	3	2
		11	−1	1	11	−1

Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]

Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]

Dx = 10 − 37

Dx = −27

■ Menentukan nilai Dy

Dy	=	2	12	1	2	12
		1	3	−1	1	3
		3	11	1	3	11

Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]

Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]

Dy = −19 – (–1)

Dy = −18

■ Menentukan nilai Dz

Dz	=	2	1	12	2	1
		1	2	3	1	2
		3	−1	11	3	−1

Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]

Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]

Dz = 41 − 77

Dz = −36

■ Menentukan nilai x, y, z

Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.

x	=	Dx	=	−27	=	3
		D		−9

y	=	Dy	=	−18	=	2
		D		−9

z	=	Dz	=	−36	=	4
		D		−9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}.

contoh soal : 

Diketahui :

Ditanya :

Jawab :

Kesimpulan :